乍一看，粒子的另外一个实际特征非常普通：可以计数。一个苹果，两个苹果……正因我们在幼年就已学会了计数，所以这不足为奇。因为粒子可以计数，所以可以用这种方式加减。早在蹩脚的数学老师使您失去对于计算的所有兴趣之前，笑眯眯的小学教师已经教会了您计数。
经典波
计数并不适用于粒子的对立面——波，不可以对波进行计数。您的回忆中还保存着上次海边度假的经历，在此处肯定会反驳，所以我有必要澄清误解。请您捋着自己的思绪，再次躺到漂浮在海面的气垫上，感觉到海水让您上下起伏了吗？波峰波谷首尾相连，绵绵不绝。可是，您所感觉到的并非许许多多单独的波浪，而仅仅是一列波浪的振动。波浪就在您所活动之处激起，可它也正在滩头破碎，或者正在海中远处形成波峰与波谷。与粒子相比，波浪没有特定的位置。
您看到接二连三涌向岸边的波浪，实际始终属于同一列波浪，它并没有移动，所以人们无法定义它的速度。海面上之所有会形成波峰与波谷，是因为组成波浪的水分子在无休止地做着椭圆形运动。如果并非如此，则波浪确实就会裹挟着海水向前运动，海洋中部的海水想必就会在某个时候干枯。换句话说，您看到过海水不涌向岸边的沙滩吗？您也可以将一只皮球掷于波浪之上，从而对此加以检验。如果风或水流对皮球施加影响，它才会向着岸边运动。
不同于经典粒子的位置与动量，对于波的描述采用了物理学意义的其他参数。振动的范围，即波峰与波谷之间的距离，称为振幅（确切地说，振幅是波峰与波谷之间高度差的一半）。两个相邻波峰之间的空间距离称为波长，而它们之间的时间差的倒数称为频率。波长与频率之间成反比，波长越长，频率就越低。
如果完全脱离速度，也无法对波进行描述。波峰（外行容易将其与波相混淆）确实发生了位移，而且是以所谓的相位速度发生位移。可是，这一过程中涉及了波的某个特性。因为在位置与波之间不能建立一一对应的关系，所以波也无法改变位置。其次，波具有传播速度。如果您将一块石头扔入水中，由此产生了一列波浪（确属一列），它以圆形扩散至整个水面。您朝一个孔洞中呼叫，制造了一个声波（一种压力波），它以声速沿着同一个方向传播，直至被墙壁反射并作为回声原路折返。如果您接通一只手电筒的电源，（电磁性质的）光波会扩散至整个宇宙，而且其速度为光速c。
我之前提过波的另外一个特点，即它不似粒子般可以计数。虽然您可以数着一定时间内到达岸边的浪尖，可您整段时间一直在观察的只是某一列波浪，通过数浪尖确定的只是这一列波浪的频率。如果两样事物均不可以计数，又该如何对其进行共同计算呢？无论如何，不能用众人习惯了的1+1=2算式。对于波浪而言，其计算结果取决于两列波浪的波峰与波谷彼此相遇的精准程度——物理学家们将这一过程称为“波的干涉”。如果两个波峰完全重叠（人们称这样的两列波为“相位相同”或“同相”），其振幅会增大（“建设性干涉”）。如果波峰和波谷相遇（这两列波就属于“异相”或“不同相”），则会产生较小的波峰（“破坏性干涉”）。如果您选择一个完美的时机，将第二块相同大小的石头扔入水中，就会幸运地将第一列波浪完全抵消。通常情况下，两列波浪会相遇，然后就会发生干涉现象。另一个建立于“破坏性干涉”工作原理之上的是“降噪”耳机。耳机接收到外界传来的声音，然后产生用于抵消外界所有声音的声波（效果聊胜于无，可问题在于技术尚不够完善）。
另外一种现象只见于波，而不见于经典粒子，这就是衍射现象。如果粒子遇到一个障碍，会难以避免地反弹。即便障碍物有一个孔洞，粒子仍然会反弹——除非粒子恰好遇到孔洞。在这种情况下，粒子沿着直线的方向穿过这个孔洞。波的领域则有所不同：障碍物的每一个孔洞乃至每一个边缘都是新波的起点。您想起驶入港口之处的典型波形了吗？这样的例子也见于其他类型的波，例如声波。这也是一条理由，可以用来说明尽管窗户只留了一道缝隙，街头的噪音却仍然可以传入房间。如果不存在声波的衍射现象，噪音就会小得多。另一方面，如果没有声波的衍射，您只能听得到别人直接对着耳道所说的内容。
光被视为波
乍一看，光并未表现出衍射之类的行为。您可以站到太阳光下自行检验。您的影子具有一个明显的轮廓边际。如果照到您身上的光发生了衍射，您的影子一定会变得模糊不清。因此，自然研究者们直至18世纪末还持有这样一种观点，认为光一定是由极其微小的粒子流组成。可是，这种印象有误，其实在于我们的视觉不够敏锐。早在17世纪，意大利的耶稣会士、物理学家弗朗西斯科·马里亚·格里马第就对光的衍射进行了观测。1685年，其身后出版的著述中强调了“衍射”这个概念。尽管如此，直至百余年之后，英国学者托马斯·杨才成功地说服了学界，使人们相信了光具有波的属性。1803年，他在伦敦的皇家学会面前做了一次报告，演示了他的双缝实验。这个实验几经演变，帮助奠定了后世的量子物理。
托马斯·杨指出，光并不像粒子流一般直线传播，而是表现为如水波或声波般的干涉模式，看得出一系列明暗交替的条纹。之所以肉眼难以识别，原因在于光的波长过短。水中的波浪长度可达数米，而光波的波长仅为约1/10微米，即约1/10000毫米，因此用来做干涉实验的缝隙也必须随之相应变窄。托马斯·杨的实验（及其之后研究人员所做的实验）结束了关于光的属性的争论，自此以后，光被视为波。
光被视为粒子
在经典物理发展的过程中，一些小小的无稽之谈也大行其道，例如物体升温过程中产生的黑体辐射。进一步研究表明，在被物体反射的光中，各种光色（所谓光谱）的份额完全取决于物体的温度，而非取决于物体的材料。为什么材料在这里不起作用？如果温度升高，铁的光亮不是必然与铜有所区别吗？
并非如此。实际上，研究人员也通过实验获得证明，这事实上与材料无关。观测结果与预测完全吻合，唯独缺少可以用于说明的理论。按照经典的计算方法，光辐射在波长较短这一条件下会达到无穷大的强度——物理学家们将其称为“紫外灾变”。然而，这种情况在实践中并未发生，只有一种新的理论才能够解决这个问题。
德国物理学家马克斯·普朗克于1900年阐述了一种想法，它有望为解决这个问题而助力。普朗克提出假设，认为光波以极微小的粒子传递能量，粒子的值始终按照一个基础值的倍数进行运算。这一基础值据信来自于光的频率及一个常量h，该常量由普朗克通过计算某个黑体辐射的能量分布而得到。粒子越大，传递的能量就越多，但能量总是一份一份地、量子化地出现，不可以被任意分割。
普朗克自己采用该理念，并非因其对之加以采信。将波浪设想为梯级分布，似乎过于荒谬。各列波浪出现在任何高度，并非仅仅表现为大致为1米、2米、3米、4米之类的基于初浪的叠加态。另一方面，自然界中绝对会出现量子化的现象。例如，水滴总是以一定的大小离开水龙头，其大小取决于水龙头开口处的尺寸与材料。可是，一旦水滴落入水池，就无法再证实其先前的结构，即其先前的量子化。在光子量子化的过程中，确实只是一种与仅仅在黑体处发生的辐射有关的现象吗？因此普朗克一度放弃了自己的基本思想“量子”，相应地他尝试利用数学手段应对其本人引入的分散能量。可是，这些分散能量被证明极其顽强，普朗克只能将其保留下来。
他的收获是，常量h后来被冠以普朗克的名字——普朗克常数，该数值为6.626×10-34 kgm2/s。因其如此之小，在我们的日常生活中会按照常识将其等同于零。
另外一种物理现象才使研究者们最终发现了量子的踪迹——光电效应。该效应表明，如果将金属置于光波之下，会有电子（负电荷是形成电流的基础条件）释放出来。1839年以来，这种说法就广为人知。人们起初认为，光波会在某种程度上持续“撼动”金属原子，直至它们释放电子。如果这一点属实，更有力的“撼动”（即更多的光）会引发更强烈的光电效应（即释放更多电子）。可是，光电效应并不会随着光照加强而提高。更确切地说，光电效应的规模取决于照射于金属之上光线的波长与频率。在某个最低频率内，一切保持不变。之后，所释放电荷的能量随着光频率的加强而提高。
1905年，阿尔伯特·爱因斯坦为光电效应找到了一种简单的解释。他依托普朗克的想法，想象存在一种微型光量子，其能量等于光频率与普朗克常数的乘积。只要光量子（光子）频率过低，其能量不足以释放金属中的电子，就一切保持原样。在这种情况下，即便对金属材料施以更多光照，也无济于事。如果单个光量子的能量超过了最低限度，就会完成自己的使命。其他电子会接受余下的能量（光子的能量减去释放电子所需的能量）。剩余能量也直接与光频率相关，与光的强度（即光子的数量）并无关系。
爱因斯坦当时还籍籍无名，这一大胆的假设最初受到了专业领域的质疑。1916年，美国物理学家罗伯特·密立根也尝试通过精确的观测来反驳这种假设，却宣告失败。恰恰相反，他强化了这种假设。1921年，因其对光电效应作出了自己的解释，爱因斯坦获得了诺贝尔物理奖。
作为一种补充，美国物理学家亚瑟·霍利·康普顿于1922年揭示了以其名字命名的康普顿效应——他证明，光子拥有另外一种粒子特性。光子拥有一种动量（由普朗克常数除以波长而得），会在与电子相遇的时候将部分动量传递给电子。这就好比一只桌球，它撞到另外一只，从而将自己的部分动量传递给另外一只，自己则降速。光子则在与电子相遇的时候传递自己的部分动量，但光子的速度并不会因此而变慢（与桌球不同），光速会始终保持不变。然而，光子会改变自己的颜色即其频率，普朗克已在频率与能量之间建立了某种联系。
如果光既是粒子也是波，那么将其他迄今为止都被视为经典粒子的对象也加上波的属性，不是很公平吗？
粒子作为波
发表这种看法的第一人当属法国物理学家路易斯·维克多·德布罗意，时值1923年，他还在忙于自己的博士论文。如果一个光子的动量来自于常数h与波长的商，则粒子的波长想必就可由常数h与动量的商来确定。尽管这一假设非常大胆，德布罗意还是获得了博士头衔，这要感谢阿尔伯特·爱因斯坦的支持，后者当时已是诺贝尔奖得主。
数年之后，美国团队戴维森、革末以及英国人乔治·汤姆逊两方各自独立工作，测定了电子的衍射模型，从而为德布罗意的假说提供了证据。1937年，三人因为证明了电子的波动性而共同获得诺贝尔物理奖（有趣的是，乔治·汤姆逊的父亲约瑟夫·汤姆逊曾于1906年因为证明了电子的粒子特性而获得诺贝尔物理奖）。
在此期间，所有基本粒子，包括原子与分子的典型干涉模式均已清楚地得到证实。世界各地的研究者们争相恐后地选择越来越复杂的对象，将其用于杨的双缝实验。
会有一天可以成功地证明日常物品也具有波动性吗？例如一个足球，它射穿体育场内一道门墙的两个球洞。如果足球的波长粗略估计为10-34米，建构一面适合的门墙可能会非常困难，因为足球运动员要瞄准的两个洞口的直径同样只能为10-34米。这非常非常小，小到连与构成原子核的基本粒子如质子与中子相比，后两者都比它大了19个数量级。
所有物体既有粒子性，也有波动性，这种认识并非量子物理学的全部。还需要引用几句话用以解释波粒二象性到底意味着什么。一个物体之所以表现出某一面，以何为依据？如何将一个粒子的经典运动描述成不发生位移的波？
叠加态
现在我们知道，物质同时具有粒子性与波动性。那又如何？胡椒蜂蜜饼同时具有甜味与香料的味道，有问题吗？我们再看看托马斯·杨的双缝实验吧。胡椒蜂蜜饼在量子力学意义上的波长过短，无法构建一个适合的通道，我们改用电子来轰击双缝。后面的探测器屏幕上就出现了典型的干涉模式。
现在我们降低发射频率，而且每次始终只发射一个电子，干涉模式仍然保持不变。显而易见的是，单个电子也是一种波，在这种情况下，根本不需要另外一列波，它就可以实现自我干涉。可是，对于名为电子的粒子而言，这意味着什么呢？按照今天的认知，电子是不可分的，它必然选择了某个裂缝。可是，它穿过了哪道裂缝呢？
我们尝试着封闭了上面一道裂缝，干涉模式消失了。每一个电子都直接击中了下部裂缝后面的检波器。它在这个过程中以直线飞行，这也正符合人们对于粒子的预期。如果我们封闭下面一道裂缝，会发生同样的现象。即便我们始终轮换着封闭或打开其中一道裂缝，显示屏上也不会出现干涉模式下典型的最高或最低强度。通过对某道裂缝进行封闭实验，电子突然如粒子般正常表现，不再有干涉现象发生。
所以，我们现在使两道裂缝都保持开放状态并假定电子会穿过上面一道裂缝。那么，它必然会直接击中上部裂缝后面的检波器。可是，它不可能再导致干涉模式，因为它必须为此另外穿越下部裂缝。也就是说，粒子不可能只穿过了上部裂缝。如果我们颠倒这个思想实验的顺序，电子也不可能仅有下部裂缝这一条通道。
这种困境使我们得到一个结论，它在经典物理中根本被视为无稽之谈，那就是不可分的电子想必同时(！)穿过了两道裂缝。如果我们不封闭其中一条裂缝，不夺走电子的决定权，它绝对同时选择两道裂缝。虽然人类常识不情愿接受这样一个结论，但这完全在于人类属于凡夫俗子。虽然这里也适用量子物理的法则，可这些法则对于这种现象影响甚微，所以我们无从察觉。这并不罕见，人们在日常生活中也没有理解相对论的若干法则。您注意到了吗？无论乘坐火车或汽车，时间可有丝毫减慢？
您最好用诺贝尔奖得主理查德·费曼的话来安慰自己，对于通过量子物理来描述现实世界，他称之为“违背人类常识式的荒谬”，但“在每个细节上都通过实验得到确认”。这位物理教授说：“我希望，您干脆顺其自然地接受大自然——荒谬是其本色。”
如果我们允许研究者宣称的“延迟选择”发生，大自然的真实荒谬程度就更为清晰。所谓“延迟选择”意味着一种策略，即在双缝实验中堵住某个裂缝（开放亦可），这一动作发生于粒子穿过裂缝之后(！)——但还要发生于粒子出现在检波器之前。乍一看，结果有违因果律。如果我们在粒子穿越裂缝之后将其封闭，可能对后续事件根本没有任何影响！可是，我们具体何时创造适合的条件，即打开或封闭裂缝，这对于干涉模式是否发生确实无足轻重。只要检波器没有捕捉到粒子，我们就还可以影响实验结果。即使电子已经穿越了裂缝，我们仍旧可以强加自己的意愿，似乎可以在事后修改电子作出的决定。